如何求解自己的“考学效用最大化”问题
太长不看省流版：
1、主课上课前要做好的准备：N1、托福托业、经济数学课。
2、给梦校加码：动用一切唯心手段。
3、及时止损：保底校要报。
4、推荐的沐刃课程：经济数学课，微观主课，宏观主课，研究计划指导课，笔试知识点特
训班。建议线下上课，一节课不缺，坐前两排。没学明白的学两期最好。
5、感觉自己做对的事情：报了塾；5 月-6 月在大家都还没开始努力的时候疯狂卷。
6、感觉自己没做对的事情：托福只有 78；没多报几个塾；没挑战一桥 data science。
7、庆应的邪道策略：不要在出愿期间第一天就报名，到截止日期前再报名。
套用微观第一节课，消费者理论的定式化问题，我们来试着抽象出一个简易的考学效用最大化模型。
首先是效用函数，很容易想到：
1、考到越好的学校，自己越开心，自然获得的效用越高。这是一个正比例关系。
2、付出的努力越多，自己越辛苦，获得的效用越少。这是一个反比例关系。
于是我们就得到了效用函数：
𝑢= 𝐴𝑐ℎ𝑖𝑒𝑣𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡 ∗(𝑇𝑖𝑚𝑒− 𝐸𝑓𝑓𝑜𝑟𝑡)
在有限的备考时间里，谁都希望用最少的努力，考到最好的学校，这样可以让自己的效用最大化，也就是所谓的“事半功倍”。
接下来是制约条件。我们假设考上东大的效用为 100，考上日经大或者东福祉的效用为0，则有：
𝑖𝑓 𝑈𝑇𝑜𝑘𝑦𝑜 , 𝐴𝑐ℎ𝑖𝑒𝑣𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡= 100
𝑖𝑓 池袋小东大 , 𝐴𝑐ℎ𝑖𝑒𝑣𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡= 0
而各个学校和不同研究科带来的效用其实是离散的而非连续的，但为了方便，中间的其他学校带来的效用都看作均匀连续地分布在 0-100 之间好了。
我们也能想象，越好的学校越难考上，越想往上提高一点需要的努力越多。所以能够考上的学校 Achievement 可以看作是一个关于努力程度 Effort 的函数，该函数的一阶导数为正，二阶导数为负，因此可以把制约条件写为：
这里使用了背景 Background 作为系数，毕竟背景更好的人更容易考上好学校也是大家的共识了。这里的背景包含了学校等级，GPA，英语成绩，智力水平等等，为了模型不要太复杂就糅杂成一个参数了。这么一来，考学效用最大化的定式化问题就可以用数学语言表述了：
外生变数，即外部给定的条件，是备考时间Time，和背景Background。
内生变数，即模型内决定的，是能够考上的学校 Achievement，和努力水平 Effort。
通过代入法，再求导数，可以得到最优的努力水平的值为：
很有趣吧，最优的努力程度与你的背景无关。把备考阶段每天的 1/3 时间用来努力学习，对任何背景的人而言都是效用最大的，只是大家最后考上的去处，也就是 Achievement 不一样而已。
当然我们还要考虑端点解，对于那些背景雄厚的同学来说：
如果只要花少于 1/3 的时间，就可以考上东大，自然只花必要的时间就可以了。
整个事情也挺符合观测到的事实：大家明明努力的程度差不多，就是有人考上了更好的学校，甚至有些大佬花更少的时间就合格了最好的学校。
还没开始上主课的同学们是不是觉得有一点点抽象？我们用一个具体的数值再解释一遍。
假设我们从 4 月开始，有 4 个月/120 天的备考时间，按小时计算就是 2880 小时。有位甲同学背景一般，不太出彩，背景系数设定为2。把这些值代入效用最大化问题：
还是通过代入法，再求导数，可以得到甲的最优的努力水平的值为：
把这个值代回原式，可得到：
62 比起 100 的东大来说，可能也就是一个地方的二三梯队学校，感觉都对不起这千把个小时的努力。
现在有位背景特别强的乙同学，背景系数为10，代入效用最大化问题：
代入后求导得到的值还是960小时，但这个值大于100小时了，所以直接取端点解：
并且考上的是东大：
但如果背景一般的甲同学还是要考东大，也愿意拼，这会如何呢？我们回到甲同学的式子中，看到为了考上东大，需要付出2500 小时的努力，这种情况下，效用的值为：
比起最优的效用来说明显地下降了很多。
学习消费者理论的时候，我们会意识到，在给定效用函数和外部制约的条件下，每个理性的人都会不自觉地选择让自己最舒适、效用最大的方案。具体到考学，哪怕甲同学很想考东大，立志不睡觉疯狂学习。但试了一段时间，疲惫到透支的身体再也无法支持这份意志，枯萎的大脑也想让他休息，理性告诉他再拼下去不行，休息吧。于是甲去补觉了。就这样学学停停，到头来总计也是复习了 960 小时，最后虽然没考上东大，但甲其实自然而然选择了效用最大化的备考方案。而且至少活下来了不是吗。
那背景不行的人就注定没办法考上东大了吗？
非也非也，当然还是有办法的。改效用函数和制约条件啊！我们还是从式子本身入手，用数学的方法来看看该怎么办。
方法一：早做准备
大家很容易发现，何必把备考时间 Time 限制在 4 个月！如果有 8 个月、1 年，甚至 2年的备考时间的话，事情肯定就不一样了。
那么我们假设其他条件不变，备考时间为 1 年，换算成小时就是 8640 小时，回到甲同学的效用最大化问题中：
代入后求导得到的值2880小时，但这个值大于2500小时了，所以直接取端点解：
一个本来只能去二三梯队学校的甲同学，努力1年，每天不用学满8 小时，就能考上东大！多么完美。
从模型可以得出结论：早做准备，可以比其他同学拥有更多的时间，就能考上更好的学校。
至于早期的准备阶段应该做什么，沐刃的官网也已经写得很清楚了：
1、语言成绩。N1 要考出来；托福托业也需要有一个不拖后腿的成绩。托福 78 分是我这次考学最大的败笔之一。
2、数学。强烈推荐沐刃的经济数学课，可以说一点多余的东西不教，每个字都是对考学有用的。建议在主课开始前学完。另外，沐刃的各门课程如果只学一期可能会比较赶，建议提前半年开始上课，哪怕先上网课也行，上两期会更从容一点，当然对自己水平有信心的话可以忽略。
方法二：设计自己的预期
另一个突破口在这里：“学校带来的效用均匀连续地分布在 0-100 之间”。前文也提到过，各个学校和不同研究科带来的效用其实是离散的而非连续的。
那么我们是不是可以把考上东大的效用提高到一亿，10 的 8 次方呢？其他学校继续均匀连续地分布在0-100之间。于是回到备考时间为4个月的甲同学的效用最大化问题中：
通过代入法，再求导数，可以得到努力水平的值960小时，效用约为119040。
再考虑端点解，付出2500小时的努力，这种情况下，效用的值为：
端点解的效用比起求导得出的效用值更大，并且考上的是东大：
一个本来只能去二三梯队学校的甲同学，卷成通宵仙人，每天吃喝拉撒加起来3 小时，剩下时间全在学习，坚持整整 120 天才能考上东大！多么惨烈。
甚至可以写一个更简单粗暴的效用函数：
一看就知道不上东大不罢休了。
每个人的效用函数都是不一样的，用人话说就是，考上某所学校的意义对每个人不尽相同：对有些人来说，考上当然很好，考不上也没什么；而有些人是非它不可，不考上不罢休的那种。
一个考生，在无法延长备考时间的情况下，可以考虑动用这份“唯心”的力量，把自己考上梦校这件事情的效用拉到无限大，或者把没合格梦校这件事情的效用降到无限低。
具体怎么操作呢，一些常规的奖惩措施，比如合格梦校就奖励自己买个相机、养只猫；没合格就惩罚自己抄写神曲教材一遍什么的，都是可以的。也存在极端的手段，过于极端的说出来会有教唆之嫌，但可能真的有效。这里举一个稍微温和点的例子。
我有个非常憎恨的朋友，是藤校博士。每次和他针对时事吵架都是我输，感觉他看不起我和我的学历。所以我把对这个人的恨意写在家门口的白板上，每天出门看一眼，暗示自己考上东大就不会输给他了，激励自己去卷。虽然最后上不了东大，不过这份恨意应该确实派上用场了。
不过唯心的力量并不稳定，随时可能因为自己太累而瓦解。这个时候就需要一个理性的抑制器，也就是你愿意为了达成目标付出多少代价。所谓的代价，说到底其实也就是时间和金钱。代价太大就得及时止损。
还是以东大为例，花十年，相信绝大部分人都会考上东大——这些时间都足够回本科刷一遍 GPA 了。但这明显是亏的，花掉的十年时光，只出不进的生活费，和可能可以赚到的不错薪水，都比考上东大这件事更值得。
你需要在考前就大致想好：自己打算最多花多久准备考学，什么时间点前必须入学，哪怕是并不满意的学校。所以一个保底的学校也是必须的。
方法三：提高努力的效率
还有一个突破口就是如何努力。明明有信心有体力，但千头万绪，能做的需要做的事情很多却不知道往哪里使劲，感觉总是在空转，可能不少人在考学初期都会有这样的烦恼。
这种时候就是塾出场的时候，让塾来进行高质量的专业课教学，高效提供所有需要收集的信息。同样一份努力，有塾的指导的话，可能有翻倍的效果。
不如就假设沐刃让努力的效率翻倍了，也就是 Muren=2。那么回到甲同学的效用最大化问题中：
通过代入法，再求导数，可以得到最优的努力水平的值为：
把这个值代回原式，可得到：
一个本来只能去二三梯队学校的甲同学，维持原来的努力程度不变，只是因为报了沐刃，就能考上很有竞争力的第一梯队学校！多么愉悦。
也不是说报了塾就万事大吉了，塾的乘数效果的高低，也会因为你的重视程度而变化。
现在能想到的注意点或者说经验有这么几个：
1、梁老师也提过多次的“听话”，跟着各位老师的教导学习做题，按部就班，不缺课不掉队，结果就不会差。
2、线下上课感觉效果更好。教室前两排的座位价值千金，尽量抢到吧，坐前排能随时和老师互动，周围也都是好学的卷王，带来的收益非常大。
3、相信刚报塾的时候大家都斗志昂扬，4 月没人会不卷。但随着 5-6 月课程变难，一些同学就卷不动了，这是一个痛苦但绝佳的卷的时机。这段时间越卷，上庆应概率越高。
4、推荐的塾内课程是经济数学课，微观主课，宏观主课，研究计划指导课，笔试知识点特训班。过去问主课我没怎么上，不过和同学一起做题的时候发现 OLG 和拉姆齐等宏观大模型的练习会比前期多，很有帮助。书选班虽然是一个很好的锻炼面试的机会，但对于冲笔试校的人还是做题优先度更高，很难两者兼顾。话虽这么说，但相信想报的人还是会报的。体验过才知道适合不适合自己。
5、经济实力如果允许，也可以报多个塾，或者社交平台上的一些个人指导。多个塾组合起来可能效果更好，特别是对于研究计划的书写、修改和面试这方面。
聊聊庆应
关于庆应的应试和训练，我想报名沐刃之后梁老师会非常详细地解说，多余的话也不讲了。
这里说一个我自己的小发现：庆应的考号是根据你的报名的时间顺序前后从小到大排序的。即注册时间越早，考号越小。
而庆应的面试，也是按考号从小到大排序，考号越大，越晚面试。对于有好几天甚至一周面试准备时间的学校来说，这点差距可以忽略不计。
但对于庆应这种晚上 7 点发表笔试结果，第二天就要面试的学校来说，比起早上 10 点第一个面试，下午面试可以整整多准备半天，边际效果非常显著。
所以我建议各位同学不要在出愿期间第一天就报名，在不会影响材料寄送的前提下，到截止日期前再报名。
不过这个算是个邪道策略，喜欢早点面试或者对自己面试有信心的同学忽略这点就可以了。
最后一件事
感觉一桥 data science 就业无敌，可惜没报。而且只有夏季才有。也是挺后悔的。