合格庆应义塾大学

 

如何求解自己的“考学效用最大化”问题

太长不看省流版:

1、主课上课前要做好的准备:N1、托福托业、经济数学课。

2、给梦校加码:动用一切唯心手段。

3、及时止损:保底校要报。

4、推荐的沐刃课程:经济数学课,微观主课,宏观主课,研究计划指导课,笔试知识点特

训班。建议线下上课,一节课不缺,坐前两排。没学明白的学两期最好。

5、感觉自己做对的事情:报了塾;5 月-6 月在大家都还没开始努力的时候疯狂卷。

6、感觉自己没做对的事情:托福只有 78;没多报几个塾;没挑战一桥 data science。

7、庆应的邪道策略:不要在出愿期间第一天就报名,到截止日期前再报名。

套用微观第一节课,消费者理论的定式化问题,我们来试着抽象出一个简易的考学效用最大化模型。

首先是效用函数,很容易想到:

1、考到越好的学校,自己越开心,自然获得的效用越高。这是一个正比例关系。

2、付出的努力越多,自己越辛苦,获得的效用越少。这是一个反比例关系。

于是我们就得到了效用函数:

 ?= ??ℎ???????? ∗(????− ??????)

在有限的备考时间里,谁都希望用最少的努力,考到最好的学校,这样可以让自己的效用最大化,也就是所谓的“事半功倍”。

接下来是制约条件。我们假设考上东大的效用为 100,考上日经大或者东福祉的效用为0,则有:

?? ?????? , ??ℎ????????= 100

 ?? 池袋小东大 , ??ℎ????????= 0

而各个学校和不同研究科带来的效用其实是离散的而非连续的,但为了方便,中间的其他学校带来的效用都看作均匀连续地分布在 0-100 之间好了。

我们也能想象,越好的学校越难考上,越想往上提高一点需要的努力越多。所以能够考上的学校 Achievement 可以看作是一个关于努力程度 Effort 的函数,该函数的一阶导数为正,二阶导数为负,因此可以把制约条件写为:

 

这里使用了背景 Background 作为系数,毕竟背景更好的人更容易考上好学校也是大家的共识了。这里的背景包含了学校等级,GPA,英语成绩,智力水平等等,为了模型不要太复杂就糅杂成一个参数了。这么一来,考学效用最大化的定式化问题就可以用数学语言表述了:

外生变数,即外部给定的条件,是备考时间Time,和背景Background

内生变数,即模型内决定的,是能够考上的学校 Achievement,和努力水平 Effort

通过代入法,再求导数,可以得到最优的努力水平的值为:

很有趣吧,最优的努力程度与你的背景无关。把备考阶段每天的 1/3 时间用来努力学习,对任何背景的人而言都是效用最大的,只是大家最后考上的去处,也就是 Achievement 不一样而已。

当然我们还要考虑端点解,对于那些背景雄厚的同学来说:

如果只要花少于 1/3 的时间,就可以考上东大,自然只花必要的时间就可以了。

整个事情也挺符合观测到的事实:大家明明努力的程度差不多,就是有人考上了更好的学校,甚至有些大佬花更少的时间就合格了最好的学校。

还没开始上主课的同学们是不是觉得有一点点抽象?我们用一个具体的数值再解释一遍。

假设我们从 4 月开始,有 4 个月/120 天的备考时间,按小时计算就是 2880 小时。有位甲同学背景一般,不太出彩,背景系数设定为2。把这些值代入效用最大化问题:

还是通过代入法,再求导数,可以得到甲的最优的努力水平的值为:

把这个值代回原式,可得到:

62 比起 100 的东大来说,可能也就是一个地方的二三梯队学校,感觉都对不起这千把个小时的努力。

现在有位背景特别强的乙同学,背景系数为10,代入效用最大化问题:

代入后求导得到的值还是960小时,但这个值大于100小时了,所以直接取端点解:

并且考上的是东大: 

但如果背景一般的甲同学还是要考东大,也愿意拼,这会如何呢?我们回到甲同学的式子中,看到为了考上东大,需要付出2500 小时的努力,这种情况下,效用的值为:

比起最优的效用来说明显地下降了很多。

学习消费者理论的时候,我们会意识到,在给定效用函数和外部制约的条件下,每个理性的人都会不自觉地选择让自己最舒适、效用最大的方案。具体到考学,哪怕甲同学很想考东大,立志不睡觉疯狂学习。但试了一段时间,疲惫到透支的身体再也无法支持这份意志,枯萎的大脑也想让他休息,理性告诉他再拼下去不行,休息吧。于是甲去补觉了。就这样学学停停,到头来总计也是复习了 960 小时,最后虽然没考上东大,但甲其实自然而然选择了效用最大化的备考方案。而且至少活下来了不是吗。

那背景不行的人就注定没办法考上东大了吗?

非也非也,当然还是有办法的。改效用函数和制约条件啊!我们还是从式子本身入手,用数学的方法来看看该怎么办。

方法一:早做准备

大家很容易发现,何必把备考时间 Time 限制在 4 个月!如果有 8 个月、1 年,甚至 2年的备考时间的话,事情肯定就不一样了。

那么我们假设其他条件不变,备考时间为 1 年,换算成小时就是 8640 小时,回到甲同学的效用最大化问题中: 

代入后求导得到的值2880小时,但这个值大于2500小时了,所以直接取端点解:

一个本来只能去二三梯队学校的甲同学,努力1年,每天不用学满8 小时,就能考上东大!多么完美。

从模型可以得出结论:早做准备,可以比其他同学拥有更多的时间,就能考上更好的学校。

至于早期的准备阶段应该做什么,沐刃的官网也已经写得很清楚了:

1、语言成绩。N1 要考出来;托福托业也需要有一个不拖后腿的成绩。托福 78 分是我这次考学最大的败笔之一。

2、数学。强烈推荐沐刃的经济数学课,可以说一点多余的东西不教,每个字都是对考学有用的。建议在主课开始前学完。另外,沐刃的各门课程如果只学一期可能会比较赶,建议提前半年开始上课,哪怕先上网课也行,上两期会更从容一点,当然对自己水平有信心的话可以忽略。

方法二:设计自己的预期

另一个突破口在这里:“学校带来的效用均匀连续地分布在 0-100 之间”。前文也提到过,各个学校和不同研究科带来的效用其实是离散的而非连续的。

那么我们是不是可以把考上东大的效用提高到一亿,10 的 8 次方呢?其他学校继续均匀连续地分布在0-100之间。于是回到备考时间为4个月的甲同学的效用最大化问题中:

通过代入法,再求导数,可以得到努力水平的值960小时,效用约为119040。

再考虑端点解,付出2500小时的努力,这种情况下,效用的值为:

端点解的效用比起求导得出的效用值更大,并且考上的是东大:

一个本来只能去二三梯队学校的甲同学,卷成通宵仙人,每天吃喝拉撒加起来3 小时,剩下时间全在学习,坚持整整 120 天才能考上东大!多么惨烈。

甚至可以写一个更简单粗暴的效用函数:

一看就知道不上东大不罢休了。

每个人的效用函数都是不一样的,用人话说就是,考上某所学校的意义对每个人不尽相同:对有些人来说,考上当然很好,考不上也没什么;而有些人是非它不可,不考上不罢休的那种。

一个考生,在无法延长备考时间的情况下,可以考虑动用这份“唯心”的力量,把自己考上梦校这件事情的效用拉到无限大,或者把没合格梦校这件事情的效用降到无限低。

具体怎么操作呢,一些常规的奖惩措施,比如合格梦校就奖励自己买个相机、养只猫;没合格就惩罚自己抄写神曲教材一遍什么的,都是可以的。也存在极端的手段,过于极端的说出来会有教唆之嫌,但可能真的有效。这里举一个稍微温和点的例子。

我有个非常憎恨的朋友,是藤校博士。每次和他针对时事吵架都是我输,感觉他看不起我和我的学历。所以我把对这个人的恨意写在家门口的白板上,每天出门看一眼,暗示自己考上东大就不会输给他了,激励自己去卷。虽然最后上不了东大,不过这份恨意应该确实派上用场了。

不过唯心的力量并不稳定,随时可能因为自己太累而瓦解。这个时候就需要一个理性的抑制器,也就是你愿意为了达成目标付出多少代价。所谓的代价,说到底其实也就是时间和金钱。代价太大就得及时止损。

还是以东大为例,花十年,相信绝大部分人都会考上东大——这些时间都足够回本科刷一遍 GPA 了。但这明显是亏的,花掉的十年时光,只出不进的生活费,和可能可以赚到的不错薪水,都比考上东大这件事更值得。

你需要在考前就大致想好:自己打算最多花多久准备考学,什么时间点前必须入学,哪怕是并不满意的学校。所以一个保底的学校也是必须的。

方法三:提高努力的效率

还有一个突破口就是如何努力。明明有信心有体力,但千头万绪,能做的需要做的事情很多却不知道往哪里使劲,感觉总是在空转,可能不少人在考学初期都会有这样的烦恼。

这种时候就是塾出场的时候,让塾来进行高质量的专业课教学,高效提供所有需要收集的信息。同样一份努力,有塾的指导的话,可能有翻倍的效果。

不如就假设沐刃让努力的效率翻倍了,也就是 Muren=2。那么回到甲同学的效用最大化问题中:

 

通过代入法,再求导数,可以得到最优的努力水平的值为:

把这个值代回原式,可得到:

一个本来只能去二三梯队学校的甲同学,维持原来的努力程度不变,只是因为报了沐刃,就能考上很有竞争力的第一梯队学校!多么愉悦。

也不是说报了塾就万事大吉了,塾的乘数效果的高低,也会因为你的重视程度而变化。

现在能想到的注意点或者说经验有这么几个:

1、梁老师也提过多次的“听话”,跟着各位老师的教导学习做题,按部就班,不缺课不掉队,结果就不会差。

2、线下上课感觉效果更好。教室前两排的座位价值千金,尽量抢到吧,坐前排能随时和老师互动,周围也都是好学的卷王,带来的收益非常大。

3、相信刚报塾的时候大家都斗志昂扬,4 月没人会不卷。但随着 5-6 月课程变难,一些同学就卷不动了,这是一个痛苦但绝佳的卷的时机。这段时间越卷,上庆应概率越高。

4、推荐的塾内课程是经济数学课,微观主课,宏观主课,研究计划指导课,笔试知识点特训班。过去问主课我没怎么上,不过和同学一起做题的时候发现 OLG 和拉姆齐等宏观大模型的练习会比前期多,很有帮助。书选班虽然是一个很好的锻炼面试的机会,但对于冲笔试校的人还是做题优先度更高,很难两者兼顾。话虽这么说,但相信想报的人还是会报的。体验过才知道适合不适合自己。

5、经济实力如果允许,也可以报多个塾,或者社交平台上的一些个人指导。多个塾组合起来可能效果更好,特别是对于研究计划的书写、修改和面试这方面。

聊聊庆应

关于庆应的应试和训练,我想报名沐刃之后梁老师会非常详细地解说,多余的话也不讲了。

这里说一个我自己的小发现:庆应的考号是根据你的报名的时间顺序前后从小到大排序的。即注册时间越早,考号越小。

而庆应的面试,也是按考号从小到大排序,考号越大,越晚面试。对于有好几天甚至一周面试准备时间的学校来说,这点差距可以忽略不计。

但对于庆应这种晚上 7 点发表笔试结果,第二天就要面试的学校来说,比起早上 10 点第一个面试,下午面试可以整整多准备半天,边际效果非常显著。

所以我建议各位同学不要在出愿期间第一天就报名,在不会影响材料寄送的前提下,到截止日期前再报名。

不过这个算是个邪道策略,喜欢早点面试或者对自己面试有信心的同学忽略这点就可以了。

最后一件事

感觉一桥 data science 就业无敌,可惜没报。而且只有夏季才有。也是挺后悔的。